Funktionenlupe I - Nicht-Differenzierbarkeit
Natürlich ist
der Vorgang Zoomens bis zur lokalen Glättung nicht bei jeder Funktion
erfolgreich, man braucht schon in gewissem Maße gutartige Funktionen (die dann den Namen
‚differenzierbar‘ bekommen).
Ein schultypisches einfaches Beispiel einer
problematischen Funktion ist f(x) = |x| im Punkt A = (0;0), also an der Stelle a = 0.
Die Funktionenlupe I mit f(x) = |x| |
Der Graph kann nie lokal gerade aussehen, sondern behält
immer eine ‚Knickstelle‘ bei (0,0). Und die beiden Sekanten fallen nicht
zusammen.
Wenn man
hier h verkleinert, sieht es aber so aus, als würde sich das Bild im zweiten
Fenster nicht ändern, was Schüler irritieren kann.
Ein
weiteres Beispiel: f(x) = x² für x £
 Die Funktionenlupe I mit f(x) = x² für x<=1 und x³ für x>1 |
Auf weitere
'pathologische Funktionen' (Kirsch 1995) wird hier nicht eingegangen, weil sie
keine Schulrelevanz haben. Für schulrelevante Beispiele von
Nicht-Differenzierbarkeit ist das Bild einer nicht linearisierbaren
'Knickstelle' ausreichend und tragfähig.